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Dissertações |
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LUCAS ROBERTO DE LIMA
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Teorema da forma assintótica para o modelo dos sapos em grupos abelianos finitamente gerados
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Orientador : CRISTIAN FAVIO COLETTI
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Data: 21/01/2020
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Estudamos o modelo dos sapos em grafos de Cayley com taxa de crescimento polinomial maior ou igual a 3. Provamos que o tempo de ativação das partículas cresce de maneira ao menos linear e demonstramos o teorema da forma para o caso abeliano com qualquer gerador finito. O modelo dos sapos descreve um sistema de partículas interagentes em tempo discreto. Consideramos que o processo inicia com uma partícula em cada vértice do grafo onde apenas uma dessas partículas encontra-se ativa. A partícula ativa salta para um sítio vizinho de maneira equiprovável e ativa a partícula que ali se encontra. Cada partícula ativa realiza um passeio aleatório simples em tempo discreto ativando as partículas inativas presentes nos vértices visitados.
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Estudamos o modelo dos sapos em grafos de Cayley com taxa de crescimento polinomial maior ou igual a 3. Provamos que o tempo de ativação das partículas cresce de maneira ao menos linear e demonstramos o teorema da forma para o caso abeliano com qualquer gerador finito. O modelo dos sapos descreve um sistema de partículas interagentes em tempo discreto. Consideramos que o processo inicia com uma partícula em cada vértice do grafo onde apenas uma dessas partículas encontra-se ativa. A partícula ativa salta para um sítio vizinho de maneira equiprovável e ativa a partícula que ali se encontra. Cada partícula ativa realiza um passeio aleatório simples em tempo discreto ativando as partículas inativas presentes nos vértices visitados.
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DENIS ARAUJO LUIZ
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Teoremas limite para um modelo de passeio aleatório não-Markoviano: O elefante aleatório dinâmico
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Orientador : CRISTIAN FAVIO COLETTI
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Data: 28/01/2020
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Estudamos um modelo de passeio aleatório não-Markoviano nos inteiros, o modelo do Dynamic Random Elephant, ou Elefante Dinâmico Aleatório, onde a lei dos incrementos ́e dada por uma combinação linear convexa da lei do incremento do chamado Passeio Aleatório do Elefante e da lei do Passeio Aleatôrio Dinâmico.
Verificamos a Lei Forte dos Grandes Números para o modelo misto definido acima, uma vez que esse teorema já foi provado para cada um dos modelos em que foi baseado. As tecnicas utilizadas envolvem o uso da Teoria de Martingalas e da Teoria Ergódica. Exibimos mapas de transi ̧c ̃ao de fases para alguns casos desse modelo misto.
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Estudamos um modelo de passeio aleatório não-Markoviano nos inteiros, o modelo do Dynamic Random Elephant, ou Elefante Dinâmico Aleatório, onde a lei dos incrementos ́e dada por uma combinação linear convexa da lei do incremento do chamado Passeio Aleatório do Elefante e da lei do Passeio Aleatôrio Dinâmico.
Verificamos a Lei Forte dos Grandes Números para o modelo misto definido acima, uma vez que esse teorema já foi provado para cada um dos modelos em que foi baseado. As tecnicas utilizadas envolvem o uso da Teoria de Martingalas e da Teoria Ergódica. Exibimos mapas de transi ̧c ̃ao de fases para alguns casos desse modelo misto.
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THIAGO MATHEUS CAVALHEIRO
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Bifurcações Sliding em Sistemas de Filippov
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Orientador : MAURICIO FIRMINO SILVA LIMA
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Data: 11/02/2020
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O objetivo desse trabalho é estudar a dinâmica de um sistema dinâmico suave por partes do ponto de vista de bifurcações relacionadas ao contato de soluções periódicas com a variedade de descontinuidade Σ, em especial quando tais conjuntos encontram a fronteira da região de sliding (região de Σ onde ambos os campos de vetores apontam em sua direção). Tais bifurcações são conhecidas como bifurcações sliding e, com o objetivo de estudá-las, serão construídas aplicações chamadas Mapas de Descontinuidade cuja finalidade é corrigir o comportamento dos fluxos em vizinhanças da fronteira do conjunto de descontinuidade Σ. Nesse contexto dois problemas serão objeto de estudo: quando uma trajetória periódica em um sistema de impacto atinge a variedade de descontinuidade; quando uma solução periódica atinge a fronteira da região de sliding. Em ambos os casos aplicações apropriadadas que chamaremos de “zero time discontinuity map” (ZDM) e “Poincare discontinuity map” (PDM) serão obtidas.
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O objetivo desse trabalho é estudar a dinâmica de um sistema dinâmico suave por partes do ponto de vista de bifurcações relacionadas ao contato de soluções periódicas com a variedade de descontinuidade Σ, em especial quando tais conjuntos encontram a fronteira da região de sliding (região de Σ onde ambos os campos de vetores apontam em sua direção). Tais bifurcações são conhecidas como bifurcações sliding e, com o objetivo de estudá-las, serão construídas aplicações chamadas Mapas de Descontinuidade cuja finalidade é corrigir o comportamento dos fluxos em vizinhanças da fronteira do conjunto de descontinuidade Σ. Nesse contexto dois problemas serão objeto de estudo: quando uma trajetória periódica em um sistema de impacto atinge a variedade de descontinuidade; quando uma solução periódica atinge a fronteira da região de sliding. Em ambos os casos aplicações apropriadadas que chamaremos de “zero time discontinuity map” (ZDM) e “Poincare discontinuity map” (PDM) serão obtidas.
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THIAGO AUGUSTO SILVA DOURADO
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A Prova de Weil da Hipótese de Riemann para Corpos Finitos
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Orientador : FRANCISCO CESAR POLCINO MILIES
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Data: 17/02/2020
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O trabalho visa reproduzir a demonstração de André Weil da hipótese de Riemann para curvas sobre corpos finitos (1941). Esta demonstração está baseada na teoria de divisores sobre corpos funções e, mais especificamente, sobre a desigualdade de Castelnuovo-Severi, que é o resultado principal e dá origem a demonstração.
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O trabalho visa reproduzir a demonstração de André Weil da hipótese de Riemann para curvas sobre corpos finitos (1941). Esta demonstração está baseada na teoria de divisores sobre corpos funções e, mais especificamente, sobre a desigualdade de Castelnuovo-Severi, que é o resultado principal e dá origem a demonstração.
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ANTERO SOARES DE LIMA NETO
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Um Teorema de Decomposição da Curvatura Escalar
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Orientador : STEFANO NARDULLI
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Data: 18/02/2020
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Esta dissertação objetiva exibir a demonstração de um resultado análogo do Teorema de Cheeger-Gromoll obtido por Otis Chodosh, Michael Eichmar e Vlad Moraru. Este resultado afirma que se uma variedade Riemanniana de dimensão 3 com curvatura escalar não negativa contendo um cilindro minimizante de área, então esta variedade é plana.
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Esta dissertação objetiva exibir a demonstração de um resultado análogo do Teorema de Cheeger-Gromoll obtido por Otis Chodosh, Michael Eichmar e Vlad Moraru. Este resultado afirma que se uma variedade Riemanniana de dimensão 3 com curvatura escalar não negativa contendo um cilindro minimizante de área, então esta variedade é plana.
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TONE RAMOS REIS SANTANA
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O problema isoperimétrico para espaços de Lens
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Orientador : STEFANO NARDULLI
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Data: 18/02/2020
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O objetivo deste trabalho é o estudo da solução do problema isoperimétrico no espaço de Lens $ L(p,q)$ presente em \cite{viana2019}. Resultado obtido por Celso Viana, mais precisamente, afirma que as superfícies isoperimétricas em $L(p,q)$ são esferas geodésicas ou quocientes de toros de Clifford.
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O objetivo deste trabalho é o estudo da solução do problema isoperimétrico no espaço de Lens $ L(p,q)$ presente em \cite{viana2019}. Resultado obtido por Celso Viana, mais precisamente, afirma que as superfícies isoperimétricas em $L(p,q)$ são esferas geodésicas ou quocientes de toros de Clifford.
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MICHAEL DA SILVA BRESSIANI
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Método de Levenberg-Marquardt com correção de segunda ordem
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Orientador : ERIKA ALEJANDRA RADA MORA
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Data: 17/04/2020
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Em ciências aplicadas e computação, há uma variedade de problemas que consistem em ajustar um
modelo teoricamente formulado a um conjunto de dados obtidos por meio de medição, experimento ou
simulação numérica. Esse ajuste consiste em determinar um conjunto finito de parâmetros do modelo
para os quais os dados sejam representados da melhor forma possível. Uma forma natural de se resolver
esse problema é interpretá-lo como um problema de minimização, em que a função objetivo, dependente
de parâmetros, é definida como a soma dos quadrados das distâncias entre o modelo e os dados observados. Neste trabalho, estudamos métodos atuais para encontrar mínimos de tais problemas e desenvolvemos um
método novo a partir deles. De modo geral, método proposto fundamenta-se em combinar técnicas
tradicionais do método de Levenberg-Marquardt em conjunto com um vetor de correção que contém
informações de segunda ordem dos resíduos. Apresentamos três modificações desse método que visam
melhorar sua eficiência. Descrevemos a teoria do método, obtendo dois teoremas de convergência, além
de realizar teste numéricos. Os resultados indicam que o método proposto é promissor, decrescendo
significativamente o número de iterações em alguns casos testados.
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Em ciências aplicadas e computação, há uma variedade de problemas que consistem em ajustar um
modelo teoricamente formulado a um conjunto de dados obtidos por meio de medição, experimento ou
simulação numérica. Esse ajuste consiste em determinar um conjunto finito de parâmetros do modelo
para os quais os dados sejam representados da melhor forma possível. Uma forma natural de se resolver
esse problema é interpretá-lo como um problema de minimização, em que a função objetivo, dependente
de parâmetros, é definida como a soma dos quadrados das distâncias entre o modelo e os dados observados. Neste trabalho, estudamos métodos atuais para encontrar mínimos de tais problemas e desenvolvemos um
método novo a partir deles. De modo geral, método proposto fundamenta-se em combinar técnicas
tradicionais do método de Levenberg-Marquardt em conjunto com um vetor de correção que contém
informações de segunda ordem dos resíduos. Apresentamos três modificações desse método que visam
melhorar sua eficiência. Descrevemos a teoria do método, obtendo dois teoremas de convergência, além
de realizar teste numéricos. Os resultados indicam que o método proposto é promissor, decrescendo
significativamente o número de iterações em alguns casos testados.
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ANYELE LIMA ARAUJO
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Propriedade de Wada em mapas unidimensionais
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Orientador : DANIEL MIRANDA MACHADO
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Data: 15/09/2020
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Diz-se que sistema dinâmico apresenta a propriedade de Wada se possuir pelo menos três bacias de atração e as fronteiras de todas coincidirem, ou seja, se as três fronteiras forem iguais. Essa propriedade foi definida pela primeira vez em 1917 no contexto de Fundamentos de Topologia, sendo associada a sistemas dinâmicos apenas no fim do século passado. O presente trabalho aborda sistemas dinâmicos que possuem a propriedade de Wada e utiliza uma ferramenta numericamente verificável para testar se mapas unidimensionais possuem tal propriedade. A ferramenta apresentada (critério de Wada) foi utilizada para construir e caracterizar um novo mapa unidimensional que apresenta a propriedade de Wada. Além disso, provou-se que a propriedade de Wada é invariante por conjugação e verificou-se que o critério de Wada pode ser usado em mapas unidimensionais com mais de três bacias de atração.
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Diz-se que sistema dinâmico apresenta a propriedade de Wada se possuir pelo menos três bacias de atração e as fronteiras de todas coincidirem, ou seja, se as três fronteiras forem iguais. Essa propriedade foi definida pela primeira vez em 1917 no contexto de Fundamentos de Topologia, sendo associada a sistemas dinâmicos apenas no fim do século passado. O presente trabalho aborda sistemas dinâmicos que possuem a propriedade de Wada e utiliza uma ferramenta numericamente verificável para testar se mapas unidimensionais possuem tal propriedade. A ferramenta apresentada (critério de Wada) foi utilizada para construir e caracterizar um novo mapa unidimensional que apresenta a propriedade de Wada. Além disso, provou-se que a propriedade de Wada é invariante por conjugação e verificou-se que o critério de Wada pode ser usado em mapas unidimensionais com mais de três bacias de atração.
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AQUERMAN YANES MARTINHO
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Affinely Connected Spaces, Geodesic Loops, G2-Structures and Deformations
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Orientador : ROLDAO DA ROCHA JUNIOR
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Data: 25/09/2020
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Investigaremos deformações do produto octoniônico advindas da torção paralelizável sobre a 7-esfera S7, estendendo a identidade de Moufang para esses produtos e obtendo uma família de geometrias sobre S7 que surge como novas soluções de equações de movimento no formalismo Lagrangiano. Isso é feito ao se considerar a compactificação espontânea AdS4xS7, onde denota-se por AdS4 o espaço de anti-de Sitter em quatro dimensões, e suas generalizações. Além da geometria Riemanniana convencional e das duas geometrias propostas por Cartan e Schouten, obteremos soluções em geometrias com torção e em espaços de sete dimensões mais gerais. Tal formalismo será ulteriormente também derivado na 7-esfera S7 com torção paralelizável, dada localmente pelas constantes de estrutura de um laço geodésico não-associativo no espaço afim conexo, posteriormente também deformada a partir da generalização dos chamados produtos-X. Estruturas G2 em 7-variedades serão ainda estudadas, com a introdução de octônions complexos e as estruturas G2 correspondentes.
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Investigaremos deformações do produto octoniônico advindas da torção paralelizável sobre a 7-esfera S7, estendendo a identidade de Moufang para esses produtos e obtendo uma família de geometrias sobre S7 que surge como novas soluções de equações de movimento no formalismo Lagrangiano. Isso é feito ao se considerar a compactificação espontânea AdS4xS7, onde denota-se por AdS4 o espaço de anti-de Sitter em quatro dimensões, e suas generalizações. Além da geometria Riemanniana convencional e das duas geometrias propostas por Cartan e Schouten, obteremos soluções em geometrias com torção e em espaços de sete dimensões mais gerais. Tal formalismo será ulteriormente também derivado na 7-esfera S7 com torção paralelizável, dada localmente pelas constantes de estrutura de um laço geodésico não-associativo no espaço afim conexo, posteriormente também deformada a partir da generalização dos chamados produtos-X. Estruturas G2 em 7-variedades serão ainda estudadas, com a introdução de octônions complexos e as estruturas G2 correspondentes.
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