Nesta dissertação, apresentamos uma introdução à Homologia Persistente e sua relação com a Teoria de Morse Discreta. Utilizando essa relação, apresentamos uma estratégia para simplificar o cálculo dos grupos de Homologia.
Nos últimos anos, o avanço tecnológico resultou na produção e acumulação de uma quantidade substancial de dados. A Análise Topológica de Dados, uma área emergente, utiliza a estrutura topológica desses dados para extrair informações, sendo particularmente útil em situações em que métodos tradicionais podem falhar devido à complexidade dos dados, à multidimensionalidade ou à presença de outliers.
Dentre as técnicas da Análise Topológica de Dados, podemos destacar a Homologia Persistente, caracterizada pelo uso de ferramentas da Topologia Algébrica, em especial os grupos de homologia. Neste texto, apresentamos a teoria básica da Homologia Persistente e demonstramos um dos resultados fundamentais desta teoria: o Teorema de Estabilidade.
Finalmente, usando a Teoria de Morse Discreta, apresentamos uma estratégia para simplificar o cálculo dos grupos de Homologia. Durante a busca por uma função de Morse adequada, surge a possibilidade de utilizar a Transformada Discreta de Fourier no contexto de grupos abelianos. Assim, apresentamos a construção das funções de Morse-Fourier.

Neste trabalho determinamos condições necessárias e suficientes para que algumas famílias de curvas algébricas planas de Fermat generalizadas sejam Frobenius não clássicas em relação ao sistema linear de retas e ao sistema linear de cônicas. Tendo como base abordagens desenvolvidas em trabalhos posteriores ao surgimento da teoria de Stöhr-Voloch, usamos métodos que podem facilmente serem realizados sem a necessidade de recursos computacionais.

Esta tese de doutorado apresenta uma investigação aprofundada sobre teoremas da forma limite em diversas estruturas matemáticas, com um foco especial nos processos subaditivos em grupos finitamente gerados que exibem taxas de crescimento polinomial, além dos modelos padrão de Percolação de Primeira Passagem (FPP) aplicados aos Grafos Geométricos Aleatórios (RGGs). Utilizando uma ampla gama de técnicas, que vão desde teoremas ergódicos subaditivos até modificações adaptadas para caminhos poligonais dentro de grupos, a tese investiga a forma assintótica sob diferentes condições. O estudo se estende a cociclos subaditivos caracterizados por crescimento linear no mínimo e no máximo. Ademais, o estudo se estede a desvios moderados para modelos FPP em RGGs, refinando resultados anteriores com teoremas que quantificam sua velocidade de convergência para a forma limite, a flutuação das geodésicas e suas árvores geradoras. Por fim, aplicamos os resultados obtidos em um modelo de competição para verificar a probabilidade positiva de coexistência de duas espécies disputando território em um grafo 

Nesta tese, investigamos com o problema de autovalor para uma família de operadores elípticos degenerados do tipo Grushin em uma variedade Riemanniana M compacta com bordo. Provamos uma versão do Teorema Espectral para o operador LT,g,η do tipo Grushin com condições de bordo de Dirichlet e Neumann. Consideramos famílias parametrizadas por métricas Riemannianas de classe Ck ou por domínios limitados em M. Provamos que as funções simétricas dos autovalores dependem real analiticamente de ambos os parâmetros. Usamos métodos variacionais para obter fórmulas do tipo Hadamard para as funções simétricas e, como aplicação, caracterizamos os seus pontos críticos sob perturbações isovolumétricas. Como outra aplicação, estudamos o problema
de maximização do primeiro autovalor principal do operador LT,g,η com a condição de Neumann restrito a domínios isovolumétricos.

  Através da teoria desenvolvida por Rittenberg e Wyler, podemos definir álgebras de Lie, graduadas por uma grande variedade de grupos finitos. Tais álgebras de Lie graduadas se dividem em dois casos distintos: Álgebras de Lie "de cor" e superálgebras de Lie "de cor". O termo "de cor" é um termo histórico que foi introduzido por um dos autores por causa de tentativa de incluir a cor de quarks na graduação. Neste trabalho estudamos as álgebras de cor graduadas por o grupo (Z₂)².

     Superálgebras de Lie (Z₂)²-graduadas ganharam atenção na última década e recentemente foram muito estudadas por físicos e matemáticos. Quando trabalhos sobre álgebras de Lie com a graduação (Z₂)² quase não se encontram na literatura.

     Nesta dissertação será apresentado um estudo de álgebras de Lie (Z₂)²-graduadas. Propomos um grupo de modelos físicos que possuem simetria de uma álgebra (Z₂)²-graduada e construímos equações de Euler-Lagrange para cada modelo investigado. Destacamos propriedades interessantes de modelos mais gerais. A tentativa de construir um expaço exótico com tres coordenadas pseudo-bosónicas está também apresentada no Apéndice desta Dissertação.

Neste trabalho são apresentados simetrias de Lie e soluções de modelos de desenvolvimento de câncer

Esta dissertação apresenta as teorias desenvolvidas por Forman e Mrozek, que são análogos da teoria de Morse e da teoria de Conley, respectivamente, para complexos combinatórios finitos. O trabalho explora inicialmente a teoria na qual Forman define, no conjunto das células de um complexo CW, conceitos análogos aos de função de Morse, índice de Morse e Complexo de Morse. Em particular, são obtidos neste contexto os teoremas da teoria de Morse clássica e as desigualdades de Morse. Posteriormente, o trabalho aborda a teoria construída por Mrozek, desenvolvida no contexto de complexos de Lefschetz e espaços topológicos finitos, introduzindo campos multivetoriais combinatórios, o índice de Conley, atratores, repulsores e decomposições de Morse no contexto combinatório.

As álgebras de evolução são álgebras não associativas inspiradas em fenômenos biológicos com aplicações e conexões com vários campos da matemática. Propõe-se o estudo das álgebras de evolução de dimensão finita usando como principal ferramenta a teoria de grafos. Mostra-se como o radical de absorção deste tipo de álgebra pode ser obtido a partir das propriedades do seu grafo associado. Define-se o conceito de laço de uma álgebra de evolução e apresentam-se condições suficientes e necessárias para que a quantidade de laços seja preservada pela troca de base natural. Estuda-se o espaço de derivações de álgebras de evolução não degeneradas e, em especial, das álgebras de evolução de Volterra. Além disso, apresenta-se uma caracterização completa do espaço de derivações das álgebras de evolução associadas a grafos não orientados quando consideradas álgebras sobre corpos de característica positiva.

Baseados no artigo “Total curvature and the isoperimetric inequality in Cartan-Hadamard
manifolds”, de Mohammad Ghomi e Joel Spruck, estudamos uma fórmula de
comparação para a curvatura total de conjuntos de níveis em variedades Riemannianas.
Em particular, para os casos em que a variedade tem curvatura seccional constante, ou
para bolas geodésicas em variedades com curvatura seccional limitada superiormente
por uma constante real negativa.

Nesta tese, estudamos um modelo matemático para invasão tumoral. O modelo consiste em um sistema não-linear de equações diferenciais parciais, que descreve a dinâmica de interações entre a densidade de células tumorais, a densidade da matriz extracelular e a concentração de enzimas degradantes da matriz. Realizamos uma completa classificação dos grupos de transformações de pontos de Lie do sistema. Usamos as técnicas de simetrias para construir soluções invariantes para o modelo. Consequentemente, obtivemos soluções particulares do sistema, que são majoritariamente consistentes com a biologia do fenômeno.

Estudamos o modelo dos sapos em grafos de Cayley com taxa de crescimento polinomial maior ou igual a 3. Provamos que o tempo de ativação das partículas cresce de maneira ao menos linear e demonstramos o teorema da forma para o caso abeliano com qualquer gerador finito. O modelo dos sapos descreve um sistema de partículas interagentes em tempo discreto. Consideramos que o processo inicia com uma partícula em cada vértice do grafo onde apenas uma dessas partículas encontra-se ativa. A partícula ativa salta para um sítio vizinho de maneira equiprovável e ativa a partícula que ali se encontra. Cada partícula ativa realiza um passeio aleatório simples em tempo discreto ativando as partículas inativas presentes nos vértices visitados.

O objetivo desse trabalho é estudar a dinâmica de um sistema dinâmico suave por partes do ponto de vista de bifurcações relacionadas ao contato de soluções periódicas com a variedade de descontinuidade Σ, em especial quando tais conjuntos encontram a fronteira da região de sliding (região de Σ onde ambos os campos de vetores apontam em sua direção). Tais bifurcações são conhecidas como bifurcações sliding e, com o objetivo de estudá-las, serão construídas aplicações chamadas Mapas de Descontinuidade cuja finalidade é corrigir o comportamento dos fluxos em vizinhanças da fronteira do conjunto de descontinuidade Σ. Nesse contexto dois problemas serão objeto de estudo: quando uma trajetória periódica em um sistema de impacto atinge a variedade de descontinuidade; quando uma solução periódica atinge a fronteira da região de sliding. Em ambos os casos aplicações apropriadadas que chamaremos de “zero time discontinuity map” (ZDM) e “Poincare discontinuity map” (PDM) serão obtidas.

Esta dissertação objetiva exibir a demonstração de um resultado análogo do Teorema de Cheeger-Gromoll obtido por Otis Chodosh, Michael Eichmar e Vlad Moraru. Este resultado afirma que se uma variedade Riemanniana de dimensão 3 com curvatura escalar não negativa contendo um cilindro minimizante de área, então esta variedade é plana.

Investigaremos deformações do produto octoniônico advindas da torção paralelizável sobre a 7-esfera S7, estendendo a identidade de Moufang para esses produtos e obtendo uma família de geometrias sobre S7 que surge como novas soluções de equações de movimento no formalismo Lagrangiano. Isso é feito ao se considerar a compactificação espontânea AdS4xS7, onde denota-se por AdS4 o espaço de anti-de Sitter em quatro dimensões, e suas generalizações. Além da geometria Riemanniana convencional e das duas geometrias propostas por Cartan e Schouten, obteremos soluções em geometrias com torção e em espaços de sete dimensões mais gerais. Tal formalismo será ulteriormente também derivado na 7-esfera S7 com torção paralelizável, dada localmente pelas constantes de estrutura de um laço geodésico não-associativo no espaço afim conexo, posteriormente também deformada a partir da generalização dos chamados produtos-X. Estruturas G2 em 7-variedades serão ainda estudadas, com a introdução de octônions complexos e as estruturas G2 correspondentes.

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