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Dissertações |
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MARCOS THAUAN MARQUES MATIAS
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Subvariedades de rotação nas esferas de Berger e em Sl(2)
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Orientador : MARCUS ANTONIO MENDONCA MARROCOS
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Data: 05/01/2024
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Esta dissertação trata da classificação das superfícies com curvatura média constante invariantes a um grupo de1-parâmetro de isometrias nas esferas de Berger e no grupo linear especial Sl(2). Serão apresentadas uma caracterização dessas superfícies no caso do espaço Euclidiano.
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Esta dissertação trata da classificação das superfícies com curvatura média constante invariantes a um grupo de1-parâmetro de isometrias nas esferas de Berger e no grupo linear especial Sl(2). Serão apresentadas uma caracterização dessas superfícies no caso do espaço Euclidiano.
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LUCIANO HENRIQUE LACERDA DE ARAUJO
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Homologia Persistente e sua interação com a Teoria de Morse Discreta
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Orientador : DANIEL MIRANDA MACHADO
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Data: 29/01/2024
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Nesta dissertação, apresentamos uma introdução à Homologia Persistente e sua relação com a Teoria de Morse Discreta. Utilizando essa relação, apresentamos uma estratégia para simplificar o cálculo dos grupos de Homologia. Nos últimos anos, o avanço tecnológico resultou na produção e acumulação de uma quantidade substancial de dados. A Análise Topológica de Dados, uma área emergente, utiliza a estrutura topológica desses dados para extrair informações, sendo particularmente útil em situações em que métodos tradicionais podem falhar devido à complexidade dos dados, à multidimensionalidade ou à presença de outliers. Dentre as técnicas da Análise Topológica de Dados, podemos destacar a Homologia Persistente, caracterizada pelo uso de ferramentas da Topologia Algébrica, em especial os grupos de homologia. Neste texto, apresentamos a teoria básica da Homologia Persistente e demonstramos um dos resultados fundamentais desta teoria: o Teorema de Estabilidade. Finalmente, usando a Teoria de Morse Discreta, apresentamos uma estratégia para simplificar o cálculo dos grupos de Homologia. Durante a busca por uma função de Morse adequada, surge a possibilidade de utilizar a Transformada Discreta de Fourier no contexto de grupos abelianos. Assim, apresentamos a construção das funções de Morse-Fourier.
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Nesta dissertação, apresentamos uma introdução à Homologia Persistente e sua relação com a Teoria de Morse Discreta. Utilizando essa relação, apresentamos uma estratégia para simplificar o cálculo dos grupos de Homologia. Nos últimos anos, o avanço tecnológico resultou na produção e acumulação de uma quantidade substancial de dados. A Análise Topológica de Dados, uma área emergente, utiliza a estrutura topológica desses dados para extrair informações, sendo particularmente útil em situações em que métodos tradicionais podem falhar devido à complexidade dos dados, à multidimensionalidade ou à presença de outliers. Dentre as técnicas da Análise Topológica de Dados, podemos destacar a Homologia Persistente, caracterizada pelo uso de ferramentas da Topologia Algébrica, em especial os grupos de homologia. Neste texto, apresentamos a teoria básica da Homologia Persistente e demonstramos um dos resultados fundamentais desta teoria: o Teorema de Estabilidade. Finalmente, usando a Teoria de Morse Discreta, apresentamos uma estratégia para simplificar o cálculo dos grupos de Homologia. Durante a busca por uma função de Morse adequada, surge a possibilidade de utilizar a Transformada Discreta de Fourier no contexto de grupos abelianos. Assim, apresentamos a construção das funções de Morse-Fourier.
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DÉBORAH GONÇALVES FABRI
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Clifford Structures on the Exterior Bundle and Spinors
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Orientador : ROLDAO DA ROCHA JUNIOR
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Data: 29/08/2024
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By bridging geometric and algebraic concepts, this dissertation lays the groundwork for a comprehensive study of Clifford structures on bundles and spinor fields. We delve into the Kähler-Atiyah bundle, which encapsulates the essence of Clifford algebras and provides profound insights into the algebraic structures underlying geometric frameworks. The algebraic and classical definitions of spinors within Clifford algebras are examined, as well as their global realization as sections of the bundle of spinors constructed within a spin structure on a manifold. The Kähler-Atiyah bundle framework serves as an effective foundation for applications involving spinors, such as their classification based on bilinear covariants and Fierz identities. Homogeneous differential forms, acting as bilinear covariants, can vanish due to algebraic obstructions in a warped flux compactification AdS${3}×M{8}$, leading to the identification of new spinor field classes.
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By bridging geometric and algebraic concepts, this dissertation lays the groundwork for a comprehensive study of Clifford structures on bundles and spinor fields. We delve into the Kähler-Atiyah bundle, which encapsulates the essence of Clifford algebras and provides profound insights into the algebraic structures underlying geometric frameworks. The algebraic and classical definitions of spinors within Clifford algebras are examined, as well as their global realization as sections of the bundle of spinors constructed within a spin structure on a manifold. The Kähler-Atiyah bundle framework serves as an effective foundation for applications involving spinors, such as their classification based on bilinear covariants and Fierz identities. Homogeneous differential forms, acting as bilinear covariants, can vanish due to algebraic obstructions in a warped flux compactification AdS${3}×M{8}$, leading to the identification of new spinor field classes.
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LUCY YUKIE UCHINA
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Grupos de Homotopia e Espaços de Recobrimento
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Orientador : DAHISY VALADAO DE SOUZA LIMA
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Data: 21/11/2024
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O Grupo Fundamental é um importante invariante topológico definido no ramo da Topologia Algébrica. Como o próprio nome sugere, obtemos uma conexão entre a Topologia e a Álgebra, associando uma estrutura algébrica a um espaço topológico.
Uma das principais perguntas feitas na Topologia é se dois espaços são homeomorfos. Mas, muitas vezes, provar a existência (ou garantir a não existência) de um homeomorfismo entre eles é uma tarefa complexa. Iniciamos este trabalho estudando conceitos básicos da Teoria de Homotopia, direcionando-nos à definição de grupo fundamental. Com ele, adquirimos uma ferramenta a mais para responder essa pergunta pois, como veremos, espaços homeomorfos possuem grupos fundamentais isomorfos.
Um dos espaços mais simples que possui grupo fundamental não trivial é o círculo. Ao calcularmos o seu grupo fundamental nos deparamos com a ideia de Levantamentos e Espaços de Recobrimento. Desenvolvemos essas ideias, explorando sua conexão com o grupo fundamental, passando para o tópico de automorfismos entre recobrimentos, recobrimento universal e a correspondência de Galois. Por fim, veremos o grupo fundamental de superfícies fechadas e seus geradores.
Para finalizar o trabalho, introduzimos os grupos de homotopia de ordem superior, sendo o grupo fundamental apenas o primeiro grupo de homotopia. Veremos suas propriedades básicas e sua principal característica: podemos relacionar tais grupos através de sequências exatas. Ao final, comentamos brevemente sobre os grupos de homotopia de Sn.
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O Grupo Fundamental é um importante invariante topológico definido no ramo da Topologia Algébrica. Como o próprio nome sugere, obtemos uma conexão entre a Topologia e a Álgebra, associando uma estrutura algébrica a um espaço topológico.
Uma das principais perguntas feitas na Topologia é se dois espaços são homeomorfos. Mas, muitas vezes, provar a existência (ou garantir a não existência) de um homeomorfismo entre eles é uma tarefa complexa. Iniciamos este trabalho estudando conceitos básicos da Teoria de Homotopia, direcionando-nos à definição de grupo fundamental. Com ele, adquirimos uma ferramenta a mais para responder essa pergunta pois, como veremos, espaços homeomorfos possuem grupos fundamentais isomorfos.
Um dos espaços mais simples que possui grupo fundamental não trivial é o círculo. Ao calcularmos o seu grupo fundamental nos deparamos com a ideia de Levantamentos e Espaços de Recobrimento. Desenvolvemos essas ideias, explorando sua conexão com o grupo fundamental, passando para o tópico de automorfismos entre recobrimentos, recobrimento universal e a correspondência de Galois. Por fim, veremos o grupo fundamental de superfícies fechadas e seus geradores.
Para finalizar o trabalho, introduzimos os grupos de homotopia de ordem superior, sendo o grupo fundamental apenas o primeiro grupo de homotopia. Veremos suas propriedades básicas e sua principal característica: podemos relacionar tais grupos através de sequências exatas. Ao final, comentamos brevemente sobre os grupos de homotopia de Sn.
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DANIEL SAGGIOMO DE CAPRIO
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Modelos Oligomórficos para Populações Sexuadas
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Orientador : RENATO MENDES COUTINHO
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Data: 12/12/2024
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No estudo da dinâmica evolutiva para análise da evolução de traços em uma população existem diferentes tipos de abordagens. A mais recente técnica desenvolvida foi a dinâmica oligomórfica ("OMD", Oligomorphic Dynamics), criada com o intuito de simplificar o estudo evolutivo através da união de outras duas abordagens, genética quantitativa e dinâmica adaptativa. Neste trabalho buscamos compreender melhor como se dá a dinâmica oligomórfica de populações sexuadas, um caso ainda não analisado. Para isso adaptamos um modelo assexuado adicionando funções e parâmetros de reprodução, com atenção especial para o grau de acasalamento preferencial, σA, um parâmetro central para explorar o comportamento do modelo em diversos cenários. Em uma outra etapa, exploramos uma função fundamental para a reprodução no modelo desenvolvido, chamada de densidade de natalidade. Ademais trabalhamos também com um modelo não OMD para populações sexuadas para fins de comparação. Ao aproximarmos alguns parâmetros específicos da reprodução sexuada a zero, esperávamos que estes simulassem modelos para populações assexuadas, uma vez que estes parâmetros ditam o comportamento dos modelos sexuados tratados. Porém ao aproximarmos o modelo OMD do caso assexuado notamos um resultado inesperado: uma rápida diminuição da variância conforme tomamos valores maiores para o acasalamento preferencial. Por fim, argumentamos que este resultado não foi proveniente de erros numéricos, através da análise e comparação de uma versão mais simples do modelo.
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No estudo da dinâmica evolutiva para análise da evolução de traços em uma população existem diferentes tipos de abordagens. A mais recente técnica desenvolvida foi a dinâmica oligomórfica ("OMD", Oligomorphic Dynamics), criada com o intuito de simplificar o estudo evolutivo através da união de outras duas abordagens, genética quantitativa e dinâmica adaptativa. Neste trabalho buscamos compreender melhor como se dá a dinâmica oligomórfica de populações sexuadas, um caso ainda não analisado. Para isso adaptamos um modelo assexuado adicionando funções e parâmetros de reprodução, com atenção especial para o grau de acasalamento preferencial, σA, um parâmetro central para explorar o comportamento do modelo em diversos cenários. Em uma outra etapa, exploramos uma função fundamental para a reprodução no modelo desenvolvido, chamada de densidade de natalidade. Ademais trabalhamos também com um modelo não OMD para populações sexuadas para fins de comparação. Ao aproximarmos alguns parâmetros específicos da reprodução sexuada a zero, esperávamos que estes simulassem modelos para populações assexuadas, uma vez que estes parâmetros ditam o comportamento dos modelos sexuados tratados. Porém ao aproximarmos o modelo OMD do caso assexuado notamos um resultado inesperado: uma rápida diminuição da variância conforme tomamos valores maiores para o acasalamento preferencial. Por fim, argumentamos que este resultado não foi proveniente de erros numéricos, através da análise e comparação de uma versão mais simples do modelo.
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Teses |
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LEANDRO ALBINO MOSCA RODRIGUES
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Frobenius não classicalidade de algumas famílias de curvas de Fermat generalizadas
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Orientador : NAZAR ARAKELIAN
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Data: 20/06/2024
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Neste trabalho determinamos condições necessárias e suficientes para que algumas famílias de curvas algébricas planas de Fermat generalizadas sejam Frobenius não clássicas em relação ao sistema linear de retas e ao sistema linear de cônicas. Tendo como base abordagens desenvolvidas em trabalhos posteriores ao surgimento da teoria de Stöhr-Voloch, usamos métodos que podem facilmente serem realizados sem a necessidade de recursos computacionais.
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Neste trabalho determinamos condições necessárias e suficientes para que algumas famílias de curvas algébricas planas de Fermat generalizadas sejam Frobenius não clássicas em relação ao sistema linear de retas e ao sistema linear de cônicas. Tendo como base abordagens desenvolvidas em trabalhos posteriores ao surgimento da teoria de Stöhr-Voloch, usamos métodos que podem facilmente serem realizados sem a necessidade de recursos computacionais.
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DIEGO SOUSA DE OLIVEIRA
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Espectro de operadores de Laplace sob prescrição de simetrias
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Orientador : MARCUS ANTONIO MENDONCA MARROCOS
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Data: 12/07/2024
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Esta tese tem por objetivo central investigar o espectro de operadores laplacianos, generalizações e similares, indexados por um parâmetro G-invariante e definidos sobre espaços homogêneos contínuos ou discretos. Em cada contexto, determinamos a configuração espectral genérica para os autovalores.
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Esta tese tem por objetivo central investigar o espectro de operadores laplacianos, generalizações e similares, indexados por um parâmetro G-invariante e definidos sobre espaços homogêneos contínuos ou discretos. Em cada contexto, determinamos a configuração espectral genérica para os autovalores.
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LUCAS ROBERTO DE LIMA
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Forma assíntótica para processos subadtivos em grupos e em grafos geométricos aleatórios.
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Orientador : CRISTIAN FAVIO COLETTI
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Data: 16/08/2024
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Esta tese de doutorado apresenta uma investigação aprofundada sobre teoremas da forma limite em diversas estruturas matemáticas, com um foco especial nos processos subaditivos em grupos finitamente gerados que exibem taxas de crescimento polinomial, além dos modelos padrão de Percolação de Primeira Passagem (FPP) aplicados aos Grafos Geométricos Aleatórios (RGGs). Utilizando uma ampla gama de técnicas, que vão desde teoremas ergódicos subaditivos até modificações adaptadas para caminhos poligonais dentro de grupos, a tese investiga a forma assintótica sob diferentes condições. O estudo se estende a cociclos subaditivos caracterizados por crescimento linear no mínimo e no máximo. Ademais, o estudo se estede a desvios moderados para modelos FPP em RGGs, refinando resultados anteriores com teoremas que quantificam sua velocidade de convergência para a forma limite, a flutuação das geodésicas e suas árvores geradoras. Por fim, aplicamos os resultados obtidos em um modelo de competição para verificar a probabilidade positiva de coexistência de duas espécies disputando território em um grafo
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Esta tese de doutorado apresenta uma investigação aprofundada sobre teoremas da forma limite em diversas estruturas matemáticas, com um foco especial nos processos subaditivos em grupos finitamente gerados que exibem taxas de crescimento polinomial, além dos modelos padrão de Percolação de Primeira Passagem (FPP) aplicados aos Grafos Geométricos Aleatórios (RGGs). Utilizando uma ampla gama de técnicas, que vão desde teoremas ergódicos subaditivos até modificações adaptadas para caminhos poligonais dentro de grupos, a tese investiga a forma assintótica sob diferentes condições. O estudo se estende a cociclos subaditivos caracterizados por crescimento linear no mínimo e no máximo. Ademais, o estudo se estede a desvios moderados para modelos FPP em RGGs, refinando resultados anteriores com teoremas que quantificam sua velocidade de convergência para a forma limite, a flutuação das geodésicas e suas árvores geradoras. Por fim, aplicamos os resultados obtidos em um modelo de competição para verificar a probabilidade positiva de coexistência de duas espécies disputando território em um grafo
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TIAGO RODRIGO PERDIGÃO
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Bifurcações em Sistemas Híbridos de Impacto e em Sistemas de Filippov
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Orientador : MAURICIO FIRMINO SILVA LIMA
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Data: 23/09/2024
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Nesta tese, investigamos a dinâmica de sistemas suaves por partes, do ponto de vista de bifurcações relacionadas ao contato tangente de soluções periódicas com a variedade de descontinuidade Σ, numa vizinhança de um ponto regular de ordem 2k, k ≥2, tanto para sistemas híbridos de impacto, quanto para sistemas de Filippov. As bifurcações objeto deste trabalho são conhecidas como bifurcações grazing (do tipo colisão de bordo), bifurcações grazing sliding e bifurcações crossing sliding. Com esse objetivo, construímos as aplicações chamadas ZDM (Zero Discontinuity Mapping) e PDM (Poincaré Discontinuity Mapping), para pontos grazing regular de ordem 2k, k ≥ 2, cuja finalidade é corrigir o comportamento dos fluxos numa vizinhança desses pontos. Neste contexto, quatro problemas serão objeto de estudo: encontrar a ZDM e a PDM para sistemas híbridos de impacto, próximo a pontos grazing regular de ordem 4, e a partir daí, analisar os possíveis cenários de bifurcação que podem ocorrer para pequenas pertubações do sistema híbrido de impacto que admite, órbita T-periódica grazing regular de ordem 4. Além disso, generalizamos o estudo da ZDM e PDM para sistemashíbridos de impacto obtidos anteriormente, para contato de ordem 2k, k ≥ 3. Por fim, construímos as aplicações ZDM e PDM para sistemas de Filippov, em vizinhanças de pontos regulares de ordem 2k, k ≥ 2, para os casos de bifurcações grazing sliding e bifurcações crossing sliding.
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Nesta tese, investigamos a dinâmica de sistemas suaves por partes, do ponto de vista de bifurcações relacionadas ao contato tangente de soluções periódicas com a variedade de descontinuidade Σ, numa vizinhança de um ponto regular de ordem 2k, k ≥2, tanto para sistemas híbridos de impacto, quanto para sistemas de Filippov. As bifurcações objeto deste trabalho são conhecidas como bifurcações grazing (do tipo colisão de bordo), bifurcações grazing sliding e bifurcações crossing sliding. Com esse objetivo, construímos as aplicações chamadas ZDM (Zero Discontinuity Mapping) e PDM (Poincaré Discontinuity Mapping), para pontos grazing regular de ordem 2k, k ≥ 2, cuja finalidade é corrigir o comportamento dos fluxos numa vizinhança desses pontos. Neste contexto, quatro problemas serão objeto de estudo: encontrar a ZDM e a PDM para sistemas híbridos de impacto, próximo a pontos grazing regular de ordem 4, e a partir daí, analisar os possíveis cenários de bifurcação que podem ocorrer para pequenas pertubações do sistema híbrido de impacto que admite, órbita T-periódica grazing regular de ordem 4. Além disso, generalizamos o estudo da ZDM e PDM para sistemashíbridos de impacto obtidos anteriormente, para contato de ordem 2k, k ≥ 3. Por fim, construímos as aplicações ZDM e PDM para sistemas de Filippov, em vizinhanças de pontos regulares de ordem 2k, k ≥ 2, para os casos de bifurcações grazing sliding e bifurcações crossing sliding.
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WANESSA FERREIRA TAVARES
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Teoria de perturbação para operadores LT,g,η do tipo Grushin em variedades Riemannianas e Aplicações
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Orientador : MARCUS ANTONIO MENDONCA MARROCOS
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Data: 26/09/2024
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Nesta tese, investigamos com o problema de autovalor para uma família de operadores elípticos degenerados do tipo Grushin em uma variedade Riemanniana M compacta com bordo. Provamos uma versão do Teorema Espectral para o operador LT,g,η do tipo Grushin com condições de bordo de Dirichlet e Neumann. Consideramos famílias parametrizadas por métricas Riemannianas de classe Ck ou por domínios limitados em M. Provamos que as funções simétricas dos autovalores dependem real analiticamente de ambos os parâmetros. Usamos métodos variacionais para obter fórmulas do tipo Hadamard para as funções simétricas e, como aplicação, caracterizamos os seus pontos críticos sob perturbações isovolumétricas. Como outra aplicação, estudamos o problema de maximização do primeiro autovalor principal do operador LT,g,η com a condição de Neumann restrito a domínios isovolumétricos.
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Nesta tese, investigamos com o problema de autovalor para uma família de operadores elípticos degenerados do tipo Grushin em uma variedade Riemanniana M compacta com bordo. Provamos uma versão do Teorema Espectral para o operador LT,g,η do tipo Grushin com condições de bordo de Dirichlet e Neumann. Consideramos famílias parametrizadas por métricas Riemannianas de classe Ck ou por domínios limitados em M. Provamos que as funções simétricas dos autovalores dependem real analiticamente de ambos os parâmetros. Usamos métodos variacionais para obter fórmulas do tipo Hadamard para as funções simétricas e, como aplicação, caracterizamos os seus pontos críticos sob perturbações isovolumétricas. Como outra aplicação, estudamos o problema de maximização do primeiro autovalor principal do operador LT,g,η com a condição de Neumann restrito a domínios isovolumétricos.
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DENIS ARAUJO LUIZ
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Modelos de disseminação de rumores
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Orientador : CRISTIAN FAVIO COLETTI
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Data: 27/09/2024
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Estudamos três modelos de rumores. No primeiro propomos um modelo não-markoviano de rumores no grafo completo e exibimos uma lei dos grandes números funcional e um teorema central do limite funcional. O segundo modelo é uma generalização do trabalho de Rada et al. (2021), que cai em um problema de dimensão infinita e mostramos uma lei forte dos grandes números a partir da releitura de um teorema para dimensão finita. No terceiro, propomos uma generalização do modelo de Daley-Kendall e obtemos uma equação de Itô a partir do limite de uma família de geradores infinitesimais de uma sequência de cadeias de Markov e estudamos as simetrias de Lie de tal equação.
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Estudamos três modelos de rumores. No primeiro propomos um modelo não-markoviano de rumores no grafo completo e exibimos uma lei dos grandes números funcional e um teorema central do limite funcional. O segundo modelo é uma generalização do trabalho de Rada et al. (2021), que cai em um problema de dimensão infinita e mostramos uma lei forte dos grandes números a partir da releitura de um teorema para dimensão finita. No terceiro, propomos uma generalização do modelo de Daley-Kendall e obtemos uma equação de Itô a partir do limite de uma família de geradores infinitesimais de uma sequência de cadeias de Markov e estudamos as simetrias de Lie de tal equação.
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JOÃO FRANCISCO PINTO LUCAS
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Minimização de área de campos de vetores unitários em domínios da esfera unitária bidimensional
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Orientador : FABIANO GUSTAVO BRAGA BRITO
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Data: 08/10/2024
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Trata-se e encontrar um limite inferior atingível (minimizar) o fucional área de um campos de vetores unitários
em anéis esfericos. Isto é conseguido para a subfamília de campos que formam angulos constantes ao longo dos paralelos.
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Trata-se e encontrar um limite inferior atingível (minimizar) o fucional área de um campos de vetores unitários
em anéis esfericos. Isto é conseguido para a subfamília de campos que formam angulos constantes ao longo dos paralelos.
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GABRIELA COTRIM DE MORAES
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Resultados de Aplicações Aditivas e Multiplicativas Sobre Estruturas Não Associativas
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Orientador : IVAN KAYGORODOV
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Data: 08/11/2024
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Nesta tese apresenta-se os três principais resultados obtidos durante o doutoramento da autora através do estudo de álgebras não associativas. O primeiro resultado ca\-rac\-te\-ri\-za derivações generalizadas do tipo Lie em álgebras alternativas unitárias com um idempotente não trivial que satisfaz certas condições. Para obter este resultado, foi utilizada a decomposição de Peirce para álgebras alternativas. Ainda usando a decomposição de Peirce, agora para álgebras de Jordan, provou-se que sob certas condições, toda derivação multiplicativa de Jordan em uma álgebra de Jordan com um idempotente não trivial é aditiva. Finalmente foram descritas aplicações aditivas $f,g$ satisfazendo a identidade $x^{-1}f(x)+g(x^{-1}) = 0$ para todo $x\in D$ invertível. Além disso, foram forcenidas descrições de tais aplicações na álgebra de matrizes com entradas na álgebra de divisão $D$.
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Nesta tese apresenta-se os três principais resultados obtidos durante o doutoramento da autora através do estudo de álgebras não associativas. O primeiro resultado ca\-rac\-te\-ri\-za derivações generalizadas do tipo Lie em álgebras alternativas unitárias com um idempotente não trivial que satisfaz certas condições. Para obter este resultado, foi utilizada a decomposição de Peirce para álgebras alternativas. Ainda usando a decomposição de Peirce, agora para álgebras de Jordan, provou-se que sob certas condições, toda derivação multiplicativa de Jordan em uma álgebra de Jordan com um idempotente não trivial é aditiva. Finalmente foram descritas aplicações aditivas $f,g$ satisfazendo a identidade $x^{-1}f(x)+g(x^{-1}) = 0$ para todo $x\in D$ invertível. Além disso, foram forcenidas descrições de tais aplicações na álgebra de matrizes com entradas na álgebra de divisão $D$.
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