Nesta dissertação, apresentamos uma introdução à Homologia Persistente e sua relação com a Teoria de Morse Discreta. Utilizando essa relação, apresentamos uma estratégia para simplificar o cálculo dos grupos de Homologia.
Nos últimos anos, o avanço tecnológico resultou na produção e acumulação de uma quantidade substancial de dados. A Análise Topológica de Dados, uma área emergente, utiliza a estrutura topológica desses dados para extrair informações, sendo particularmente útil em situações em que métodos tradicionais podem falhar devido à complexidade dos dados, à multidimensionalidade ou à presença de outliers.
Dentre as técnicas da Análise Topológica de Dados, podemos destacar a Homologia Persistente, caracterizada pelo uso de ferramentas da Topologia Algébrica, em especial os grupos de homologia. Neste texto, apresentamos a teoria básica da Homologia Persistente e demonstramos um dos resultados fundamentais desta teoria: o Teorema de Estabilidade.
Finalmente, usando a Teoria de Morse Discreta, apresentamos uma estratégia para simplificar o cálculo dos grupos de Homologia. Durante a busca por uma função de Morse adequada, surge a possibilidade de utilizar a Transformada Discreta de Fourier no contexto de grupos abelianos. Assim, apresentamos a construção das funções de Morse-Fourier.

We present a description of a rigorous geometric and functional framework for the kinematics of classical field theory where field configurations are understood as values of sections of a smooth fiber bundle and observables are given by an appropriate class of functionals over this space. An infinite dimensional smooth manifold structure is introduced in this space through a lift of the differential geometric objects on the fiber bundle to the space of smooth sections of the latter, making possible to perform the differential calculus of such functionals. This lift is canonically determined from a choice of partial covariant derivative on the vertical bundle of the fiber bundle along itself and only depends on the point values of each section.

As matrizes de Redheffer, R_n, descritas pela primeira vez em 1977, formam uma classe de matrizes intimamente relacionadas com alguns problemas importante em teoria dos números, como a hipótese de Riemann e o teorema dos números primos, e também o Factorisatio Numerorum problem de Kàlmar. O objetivo dessa dissertação é descrever os principais resultados obtidos na literatura referentes à análise espectral de R_n e também a sua relação com Factorisatio Numerorum problem. A nossa contribuição principal é uma nova validação computacional da desprova de uma conjectura com relação à localização dos auto-valores de R_n no plano complexo.

Nesse trabalho estudamos a boa colocação, a formação de singularidades, propriedades de persistência de solução, comportamento assintótico e continuação única para soluções de uma equação do tipo Camassa-Holm com uma função arbitrária e um parâmetro não negativo relacionado à dissipação. Descrevemos cenários para a ocorrência de wave breaking quando a função é par e o dado inicial é ímpar e também para dados ou funções iniciais mais gerais, desde que estas satisfaçam certas condições em suas
primeiras derivadas.

Neste trabalho estudamos equações diferenciais que descrevem superfícies pseudo-esféricas, que são superfícies de curvatura Gaussiana constante e negativa. Também estudamos o problema linear associado a estas equações, bem como seus pseudo-potenciais e leis de conservação. Além disso, mostramos que uma outra equação descoberta por Novikov é do tipo pseudo-esférico. Mostramos seu pseudo-potencial quadrático e um número infinito de leis de conservação.

Em 1980, assumindo o Axioma de Martin, van Douwen construiu um grupo booleano enumeravelmente compacto sem sequências não triviais convergentes e mostrou (em ZFC) que um tal grupo possui dois subgrupos enumeravelmente compactos cujo produto não é enumeravelmente compacto. Nas décadas seguintes, assumindo hipóteses adicionais a ZFC, muitas outras construções de grupos enumeravelmente compactos sem sequências não triviais convergentes foram apresentadas, até que, em 2020, Hrušák et al. obtiveram um tal grupo em ZFC, resolvendo um dos principais problemas em aberto da área. Nesta dissertação, começamos estudando o trabalho de van Douwen e seguimos explorando outras construções de grupos enumeravelmente compactos sem sequências não triviais convergentes que assumem hipóteses cada vez mais fracas, até, finalmente, apresentarmos a construção em ZFC.

Neste trabalho estudamos aspectos estruturais de algumas equações diferenciais parciais com não linearidade quadrática. Uma vez que estabelecemos a base da teoria de Lie sobre grupos de transformações contínuos classificamos todas as simetrias de Lie, apresentamos como obter invariantes para, a partir deles, obter soluções particulares para as equações analisadas. Além disso, construímos via método direto um conjunto de leis de conservação para cada equação.

Estudamos um modelo de passeio aleatório não-Markoviano nos inteiros, o
modelo do Dynamic Random Elephant, ou Elefante Dinâmico Aleatório, onde a
lei dos incrementos  ́e dada por uma combinação linear convexa da lei do incremento do chamado Passeio Aleatório do Elefante e da lei do Passeio Aleatôrio Dinâmico.

Verificamos a Lei Forte dos Grandes Números para o modelo misto definido
acima, uma vez que esse teorema já foi provado para cada um dos modelos em
que foi baseado. As tecnicas utilizadas envolvem o uso da Teoria de Martingalas e da Teoria
Ergódica. Exibimos mapas de transi ̧c ̃ao de fases para alguns casos desse modelo misto.

O trabalho visa reproduzir a demonstração de André Weil da 
hipótese de Riemann para curvas sobre corpos finitos (1941). Esta 
demonstração está baseada na teoria de divisores sobre corpos funções e, 
mais especificamente, sobre a desigualdade de Castelnuovo-Severi, que é 
o resultado principal e dá origem a demonstração.

O objetivo deste trabalho é o estudo da solução do problema isoperimétrico no espaço de Lens $ L(p,q)$ presente em \cite{viana2019}. Resultado  obtido por Celso Viana, mais precisamente, afirma que as superfícies isoperimétricas em  $L(p,q)$ são esferas geodésicas ou quocientes de toros de Clifford.

Diz-se que sistema dinâmico apresenta a propriedade de Wada se possuir pelo menos três bacias de atração e as fronteiras de todas coincidirem, ou seja, se as três fronteiras forem iguais. Essa propriedade  foi definida pela primeira vez em 1917 no contexto de Fundamentos de Topologia, sendo associada a sistemas dinâmicos apenas no fim do século passado. O presente trabalho aborda sistemas dinâmicos que possuem a propriedade de Wada e utiliza uma ferramenta numericamente verificável para  testar se  mapas unidimensionais possuem tal propriedade.  A ferramenta apresentada (critério de Wada)  foi utilizada para  construir e caracterizar um novo mapa unidimensional que apresenta a propriedade de Wada. Além disso, provou-se que a propriedade de Wada é invariante por conjugação e verificou-se que o critério de Wada pode ser usado em mapas unidimensionais com mais de três bacias de atração.

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Esta dissertação investiga a teoria espectral do operador de Laplace em grupos de
Lie compactos com métricas invariantes à esquerda. São apresentados critérios com a
finalidade de determinar quando os autoespaços são representações irredutíveis.

Neste trabalho, estudamos dois problemas em dinâmica de partículas autopropelidas em um escoamento bidimensional estacionário com barreiras de transporte. No primeiro problema, consideramos partículas pontuais. Dois protocolos de natação, ambos com direção da velocidade de autopropulsão fixada a priori, foram considerados e comparados nesse contexto: no primeiro, a velocidade de autopropulsão é constante e, no segundo, há modulação temporal periódica da velocidade de autopropulsão. Como resultado de trabalho anterior, restrito a uma única escolha dos parâmetros envolvidos e ao caso em que as velocidades médias de autopropulsão são idênticas, era conhecido que autopropulsão com modulação periódica leva a um transporte mais efetivo, no sentido de uma maior medida do conjunto de condições iniciais de soluções não confinadas. Nesta tese, primeiramente fazemos uma exploração exaustiva do ganho de eficiência em função dos parâmetros da dinâmica, usando técnicas analíticas e numéricas. A seguir, estudamos o caso em que a velocidade de autopropulsão com modulação periódica é, em todo instante, menor ou igual à velocidade constante do primeiro protocolo. Mostramos que, ainda assim, há regiões do espaço de parâmetros em que a modulação periódica é vantajosa. O segundo problema que estudamos é o da natação de  partículas esféricas cuja orientação é determinada dinamicamente pelo escoamento. Consideramos que essas partículas só experimentam autopropulsão quando sua orientação se encontra numa vizinhança da direção fixada a priori. Como consequência, as partículas estão sob um campo descontínuo de velocidades. Damos inicialmente uma descrição geométrica do campo de velocidades usando como ferramenta principal a derivada de Lie. Finalmente, definimos um mapa de Poincaré em primeira ordem sobre o plano de descontinuidade e estudamos algumas das suas propriedades. 

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