Grupos de Homotopia e Espaços de Recobrimento 

O Grupo Fundamental é um importante invariante topológico definido no ramo da Topologia Algébrica. Como o próprio nome sugere, obtemos uma conexão entre a Topologia e a Álgebra, associando uma estrutura algébrica a um espaço topológico.

Uma das principais perguntas feitas na Topologia é se dois espaços são homeomorfos. Mas, muitas vezes, provar a existência (ou garantir a não existência) de um homeomorfismo entre eles é uma tarefa complexa. Iniciamos este trabalho estudando conceitos básicos da Teoria de Homotopia, direcionando-nos à definição de grupo fundamental. Com ele, adquirimos uma ferramenta a mais para responder essa pergunta pois, como veremos, espaços homeomorfos possuem grupos fundamentais isomorfos.

Um dos espaços mais simples que possui grupo fundamental não trivial é o círculo. Ao calcularmos o seu grupo fundamental nos deparamos com a ideia de Levantamentos e Espaços de Recobrimento. Desenvolvemos essas ideias, explorando sua conexão com o grupo fundamental, passando para o tópico de automorfismos entre recobrimentos, recobrimento universal e a correspondência de Galois. Por fim, veremos o grupo fundamental de superfícies fechadas e seus geradores.

Para finalizar o trabalho, introduzimos os grupos de homotopia de ordem superior, sendo o grupo fundamental apenas o primeiro grupo de homotopia. Veremos suas propriedades básicas e sua principal característica: podemos relacionar tais grupos através de sequências exatas. Ao final, comentamos brevemente sobre os grupos de homotopia de Sn.